Un paradoxe mathématique

Publié le par Yves-André Samère

Une curiosité mathématique que vous connaissez peut-être déjà, et qui constitue un paradoxe difficilement explicable. Je précise que je la connaissais déjà, l’avais oubliée, et l’ai retrouvée dans S.O.S. Lune, un roman d’Arthur C. Clarke, qui n’est pas la moitié d’une bille, puisqu’il est l’auteur du scénario de 2001, odyssée de l’espace, et qu’il a eu l’idée des satellites géostationnaires.

Donc, sachant qu’il y a trois cent soixante-cinq jours dans l’année, combien de personnes faudrait-il réunir pour qu’il y ait cinquante pour cent de chances que deux d’entre elles aient leur anniversaire à la même date ?

À première vue, on penserait qu’il faudrait prendre la moitié de trois cent soixante-cinq, donc environ cent quatre-vingt-trois. Mais cette réponse est fausse ! En effet, à partir de vingt-quatre personnes, vous avez déjà de bonnes chances pour que deux d’entre elles soient nées le même jour du même mois.

Mieux : s’il y a plus de quarante personnes, neuf fois sur dix, deux d’entre elles auront le même anniversaire.

Je serais curieux de trouver l’explication de ce paradoxe. Y a-t-il un mathématicien dans la salle ?

Publié dans Curiosités, Sciences

Écrire ci-dessous une ânerie quelconque :

DOMINIQUE 24/03/2016 15:38

Merci Marceau ! J'avais compris l'histoire de l'anniversaire et non du "même jour de naissance", mais pour le raisonnement, je séchais.
Et, contrairement à notre hôte, j'ai bien eu besoin du résumé !

Marceau 24/03/2016 14:27

Ne me demandez pas de vous expliquer les calculs mathématiques (ni même de les comprendre...), mais il s'agit du "paradoxe des anniversaires", au sujet duquel on peut trouver de nombreux articles, à commencer par celui de Wikipédia. Beaucoup d'entre eux détaillent les calculs, mais c'est ici que j'ai trouvé un bref résumé de l'explication logique : http://www.jesuiscultive.com/spip.php?article261
Je reproduis le résumé en question :

"Dans un groupe de 57 personnes, la probabilité pour que deux personnes aient leur anniversaire le même jour est de 99 %.

Ce chiffre est paradoxal, car il contredit l’intuition : on pense qu’il faut au moins 300 personnes pour avoir une probabilité élevée, car dans l’année il y a 365 jours (sans tenir compte des années bissextiles).

La confusion vient de ce que les gens évaluent les chances qu’une personne du groupe soit née à une date précise (par exemple le même jour qu’eux). Sur 57 personnes, ces chances sont faibles (elles sont de 14 %).

En réalité, la question posée n’est pas : "quelle est la probabilité pour qu’une personne du groupe soit née le même jour qu’une personne choisie à l’avance", mais "est-ce que l’une de ces personnes a un anniversaire commun avec n’importe quelle autre personne du groupe".

Un raisonnement possible pour évaluer le problème est :
dans un groupe de 2 personnes, il y a 1 paire d’anniversaires
dans un groupe de 3 personnes, il y a 3 paires d’anniversaires
dans un groupe de 4 personnes, il y a 6 paires d’anniversaires
...
dans un groupe de X personnes, il y a X*(X-1)/2 paires d’anniversaires
dans un groupe de 57 personnes, il y a 57*56/2= 1596 paires d’anniversaires, ce qui est largement supérieur aux 365 dates possibles de l’année : la probabilité de trouver 57 personnes qui ont toutes une date de naissance différente est extrêmement faible."

Yves-André Samère 24/03/2016 17:59

Ah zut !

Marceau 24/03/2016 15:36

A côté de Twitter !

Yves-André Samère 24/03/2016 15:23

Merci, mais j’aurais compris sans le résumé ! Si j’avais su où trouver Wikipedia. Mon Dieu, mais où est-ce ?

DOMINIQUE 24/03/2016 09:25

Creusez, creusez, il en sortira bien quelque chose ! Quant au pétrole, ne rêvons pas.

DOMINIQUE 24/03/2016 07:56

Et si on comptait par mois : 24 personnes, il y a des chances pour qu'une partie soit née le même mois. A partir de là, si 3 personnes sont nées en décembre, ou 4, ou 5... c'est du domaine de la statistique, non ? C'est à ce niveau que mon cerveau fait des bulles.

Yves-André Samère 24/03/2016 09:04

Je n’ai toujours pas l’explication. Il va falloir que je creuse, au risque de trouver du pétrole (vanne absolument nulle).

DOMINIQUE 23/03/2016 12:29

Et ceux qui sont nés un 29 février ?

Yves-André Samère 23/03/2016 14:20

Un jour comme un autre, dans ce contexte.

DOMINIQUE 23/03/2016 08:22

Ne comptez pas sur moi pour ce genre de raisonnement. J'ai passé cette nuit près d'une heure à essayer de comprendre : d'une j'ai retardé mon endormissement, de deux mon cerveau a fait des bulles. Je ne vous remercie pas !

Yves-André Samère 23/03/2016 10:29

Désolé pour cette nuit de cauchemar. Je ne suis donc pas le seul à être perturbé nuitamment !

kotec 22/03/2016 20:01

Il faut poser cette question à l'excellent Mickaël Launay de la chaîne Micmaths (Youtube)

Yves-André Samère 23/03/2016 14:21

Je connais très bien. Mais je ne sais pas s’il s’intéresse à ce genre d’énigme.