Un paradoxe mathématique

Une curiosité mathématique que vous connaissez peut-être déjà, et qui constitue un paradoxe difficilement explicable. Je précise que je la connaissais déjà, l’avais oubliée, et l’ai retrouvée dans S.O.S. Lune, un roman d’Arthur C. Clarke, qui n’est pas la moitié d’une bille, puisqu’il est l’auteur du scénario de 2001, odyssée de l’espace, et qu’il a eu l’idée des satellites géostationnaires.

Donc, sachant qu’il y a trois cent soixante-cinq jours dans l’année, combien de personnes faudrait-il réunir pour qu’il y ait cinquante pour cent de chances que deux d’entre elles aient leur anniversaire à la même date ?

À première vue, on penserait qu’il faudrait prendre la moitié de trois cent soixante-cinq, donc environ cent quatre-vingt-trois. Mais cette réponse est fausse ! En effet, à partir de vingt-quatre personnes, vous avez déjà de bonnes chances pour que deux d’entre elles soient nées le même jour du même mois.

Mieux : s’il y a plus de quarante personnes, neuf fois sur dix, deux d’entre elles auront le même anniversaire.

Je serais curieux de trouver l’explication de ce paradoxe. Y a-t-il un mathématicien dans la salle ?